命題8

 もし2直線が平行で、それらの1つが任意の平面に垂直ならば、残りの1つもまたその同じ平面に垂直である。

 残りの1つのCDもまた、同じ平面に垂直であることをいう。

 ABCDを2つの平行な直線とする。そしてそのうち一方のABをある平面に垂直だとする。

 ABCDはある平面上の点BDで交わる。そのとき、AB,CD,BDは1つの平面上にある。

BDと垂直にある平面上にDEをかく、DEABに等しくし、BE,AE,ADを結ぶ。

 今、ABはある平面に垂直なので、ABもまたそれと交わり、ある平面にあるすべての直線に垂直である。よって∠ABDと∠ABEのそれぞれは直角である。

 そして、直線BDは平行なABCDを結んでいるので∠ABEと∠CDBの和は2直角に等しい。ところが、∠ABDは直角である。よって∠CDBもまた直角である。よってCDBCに垂直である。そしてABDEと等しく、BDは共通であるので、2辺ABBDは2辺EDDBに等しく、∠ABDは∠EDBに等しい。なぜならば、直角だからである。従って底辺ADBEと等しい。そして、ABDEと等しく、BDは共通であるので、2辺ABBDは2辺EDDAそれぞれに等しい。そしてAEはそれらの共通の底辺である。従って∠ABEと∠EDAは等しい。

 しかし、∠ABEは直角であるので、∠EDAもまた直角である。よってEDADに垂直である。しかし、それはまたDBにも直角である。従ってEDBDDAを通る平面にも直角である。

 従ってEDもまたそれに交わり、BDDAを通る平面上にあるすべての直線と垂直である。しかし、ABBDBDDAを通る平面上にあり、DCもまたABBDがある平面にあるから、DCBDDAを通る平面にある。

 従ってEDDCに垂直である。そしてCDもまたDEに垂直である。しかし、CDはまたBDに垂直であるので、CDは2直線DEDBに垂直で、CDもまた、DEDBを通る平面に垂直である。

 しかし、そのDEDBを通る平面は、与えられた平面であるので、CDは与えられた平面に垂直である。

 従って、もし2直線が平行で、それらの1つが任意の平面に垂直ならば、残りの1つもまたその同じ平面に垂直である。

証明終了


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