命題6

2つの直線が同一平面に対し垂直ならば、それらの2直線は平行である

 2つの直線ABCDが基準平面に垂直であるとする。ABCDに平行であることをいう。

 基準平面と点BDで交わるとし、線分BDが結ばれ、BDに垂直に基準平面に

DEがひかれ、DEABに等しくされ、BE,AE,ADが結ばれたとする。そうすると、ABは基準平面に垂直であるので、それと交わり、基準平面上にあるすべての線分に対しても垂直をなす。ところが、BD,BEの双方は基準平面上にありABと交わる。よって2つの角ABDABEは直角である。同様に角CDBCDEもたがいに直角である。そしてABDEに等しく、BDは共通であるので、2辺AB,BDは2辺ED,DBに等しい。そして直角をはさむ。よって底辺ADは底辺BEに等しい。そしてABDEに等しくADBEに等しいから、2辺AB,BEは2辺EDDAに等しい。そしてAEはそれらの共通な底辺である。従って、∠ABEは∠EDAに等しい。そして∠ABEは直角である。よって∠EDAも直角である。従ってBDDADCに対し好転において垂直に立てられた。よって3つの線分BD,DA,DCは1つの平面上にある。しかし、DBDAがすべての平面上にあっても、ABも同一平面上にある。なぜなら、すべての三角形は1つの平面上にあるからである。よって線分ABBDDCは1つの平面上にある。そして、∠ABDと∠BDCの両方は直角である。従ってABはCDに平行である。

 よって、もし2つの直線が同一平面に対し垂直ならば、それらの2直線は平行である。

証明終了


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