命題5

 もし、1つの直線が切り口の共有点で互いに交わる3つの直線に垂直ならば,そのとき、3つの直線は1つの平面上にある。

 Bが共有点の3つの直線BC,BD,BEに垂直な直線ABをひく。

 BC,BD,BE1つの平面上にあることをいう。

 成り立たないと仮定するならば、もし、可能ならば,BDBEは与えられた平面にあり、BCはもっと上の平面にある。ABBCを通る平面を作る。

 それは1つの直線上の平面と交わる。その共通部分BFをひく。よって3つの直線AB,BC,BF1つの平面、すなわち、ABBCを通る平面にある。

 今,ABは直線BDBEのそれぞれと垂直であるので、ABもまた、BDBEを通る平面に垂直である。

 しかし、BDBEを通る平面は与えられた平面であるので、ABは与えられた平面と垂直である。従って、ABもまたそれと交わり,与えられた平面上のすべての直線と垂直をなす。

 しかし、与えられた平面にある。BFはそれと交わるので、∠ABFは直角である。そして、仮定より∠ABCもまた直角であるので、∠ABFと∠ABCは等しい。そしてそれらは、1つの平面上にあることは不可能である。

 よって、直線BCはもっと上の平面にないので3つの直線BC,BD,BE1つの平面上にある。

 従って、もし、1つの直線が切り口の共有点で互いに交わる3つの直線に垂直ならば、そのとき3つの直線は1つの平面上にある。

証明終了


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