命題4

 もし、ある直線が切り口の共有点で互いに切られた2つの直線に垂直だとすると,その直線もまたそれらを通る平面にも垂直である。

 直線が互いに交わる点E2つの直線ABCDと垂直になるEFをひく。

 EFもまたABCDを通る平面にも垂直であることをいう。

 互いに等しくAEEBCEEDを切る。任意にEを通る線分GEHをひく。ADCBを結び,EF上の任意の点Fから、FA,FG,FD,FC,FH,FBを結ぶ。

 今,2つの直線AEED2つの直線CEEBと等しく、等しい角を持つので、底辺ADCBは互いに等しく△AEDと△CEBは等しい。よって∠DAEと∠EBCは等しい。

 しかし、∠AEGもまた∠BEHと等しい。従ってAGEBEH2つのそれぞれ等しい2つの角を持ち,等しい角に隣接した1辺が1辺に等しい、すなわち、AEEBが等しい三角形である。

 従って、それらはまた、残りの辺と残りの辺は等しい。つまりGEEHAGBHはそれぞれ等しい。

 そして、AEEBは等しく,FEは共通で、直角が等しいのでFAFBは等しい。そして、ADCBが等しく、FAFBが等しいので、2つの辺FAADFBBCにそれぞれ等しく、底辺FDFCと等しいことが証明された。よって∠FADと∠FBCは等しい。

 また、同様にして、AGBHが等しいことを証明し,そしてさらに、FAFBAGBH、∠FAGと∠FBHが等しいことが証明された。従って底辺FGFHは等しい。

 同様に,GEEHが等しく,EFが共通で,GEHEEFEF、底辺FGGFHが等しいことが証明された。従って∠GEFと∠HEFは等しい。

 よって、∠GEFと∠HEFは互いに直角である。

 よって、FEEを通る任意のGHに垂直である。

 同様にFEもまた、それに交わり,同一直線上のすべての直線に垂直になることが証明できる。

 しかし、直線は同一平面上にあり、それに交わるすべての直線と垂直をなすとき、その直線は1つの平面に垂直である。従って、FEは与えられた平面に垂直である。

 しかし、与えられた平面は直線ABCDを通る平面である。

 よって、FEABCDを通る平面に垂直である。

 従って、もし、1つの直線が切り口の共有点で互いに切られた2つの直線に垂直だとすると,その直線もまた,それらを通る直線にも垂直である。

証明終了


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