命題38

 もし、立方体の向かい合った面の辺が2等分され、区分点を通る2つのへいめんがつくられるならば、それらの2平面の交線と,立方体の対角線とは互いに2等分する。

 立方体AFの向かい合った面CF,AHの辺が点K,L,M,N,O,Q,P,Rで2等分され、区分点を通る平面KN,ORがつくられたとする。USをそれらの平面の交線とし,DGは立方体AFの対角線とする。

 

 UTTSに等しく,DTTGに等しいことをいう。

 DU,UE,BS,SGを結ぶ。

そのとき、DOPEに平行であるので、錯角DOUUPEは互いに等しい。

 DOPEに等しく、OUUPに等しく、それらは等しい角でつくられる。従って、底辺DUは底辺UEに等しく、△DOUは△PUEに等しく、残りの角は残りの角に等しい。従って∠OUDは∠PUEに等しい。

 従って、DUEは1直線である。同様に,BSGもまた、1直線であり、BSSGに等しい。

 今,CADBに等しく、平行であり,CAもまた、EGに等しく、平行であるので、DBEGに等しく、平行である。

 また、線分DEBGはそれらの末端がつながっているので、DEBGに平行である。

 従って,EDTは∠BGTに等しい。なぜなら、それらは、錯角だからである。そして、∠DTUは∠GTSに等しい。

従って、DTUGTSは2角が2角に等しく、1辺が1辺に等しい2つの三角形である。すなわち、等しい角の1つに対する辺DUGSに等しい三角形である。なぜなら、それらは、DEBGは半分だからである。従って、残りの辺は残りの辺に等しい。ゆえに、DTTGに等しくUTTSに等しい。

 従って、もし、立方体の向かい合った面の辺が2等分され、区分点を通る2つのへいめんがつくられるならば、それらの2平面の交線と,立方体の対角線とは互いに2等分する。

証明終了


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