命題37

 もし、4線分が比例するならば,そのときその上で相似で相似な位置に立てられた平行六面体も比例する。また、もし、線分の上の相似で相似な位置にある平行六面体が比例するならば,線分自身も比例する。

 AB,CD,EF,GHは4つの比例した線分とする。すなわち、ABCDに対するのと同様にEFGHに対する。そして、AB,CD,EF,GH上に相似で相似な位置に平行六面体KA,LC,ME,NGが描けたとする。

KALCに対するのと同様にMENGに対することをいう。

平行六面体KALCに相似なので、KALCに対し、ABCDに対する比の3乗の比をなす。同様に、MENGに対し、EFGHに対する比の3乗の比をなす。

 また、ABCDに対するのと同様に,EFGHに対する。よってAKLCに対するのと同様にMENGに対する。

 次に、立体AKLCに対するのと同様に立体MEは立体NGに対するとする。

 線分ABCDに対するのと同様にEFGHに対することをいう。なぜなら, KALCに対し、ABCDに対する比の3乗の比をなし、MEもまたNGに対し、EFGHに対する比の3乗の比をなし、KALCに対するのと同様にMENGに対する。従って、ABCDに対するのと同様にEFGHに対する。

 従って、もし、4線分が比例するならば,そのときその上で相似で相似な位置に立てられた平行六面体も比例する。また、もし、線分の上の相似で相似な位置にある平行六面体が比例するならば,線分自身も比例する。

証明終了


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