命題36

もし、3直線が比例しているならば,そのとき、3直線からなる平行六面体は中項のうえの等辺でこの平行六面体と等角な平行六面体に等しい。

A,B,Cは比例する3直線とし、ABに対するのと同様にBCに対するとする。

A,B,Cからなる立体は,B上の等辺でかつこの立体に等角な立体であることをいう。

DEG,GEF,FED,によって立体角Eが作られ、線分DE,GE,EFBに等しくする。平行六面体EKが完結したとする。LMAに等しくする。線分LM上の点Lにおける立体角を点Eにおける立体角すなわち、NLO,OLM,MLNによって作られる立体角に等しくする。LOをBに等しくし、LNCに等しくする。

,ABに対するのと同様に,BCに対し,ALMに等しく、Bは線分LO,EDにそれぞれ等しく、CLNに対する。従って、LMEFに対するのと同様にDELNに対する。これから、等角NLM,DEFについての辺は反比例する。従って、平行四辺形MNは平行四辺形DFに等しい。

また、∠DEF,NLMは2つの平面直線角であり,その上に互いに等しく、最初の線分とそれぞれ等しい角をはさむ面外の線分LO,EGが立てられたので,G,OからNL,LMを通る平面と、DE,EFを通る平面は互いに等しい。よって、立体LHEKは同じ高さである。

ところが、それぞれ等しい底面で、同じ高さの平行六面体であるので、立体HLは立体EKにそれぞれ等しい。

また、LHA,B,Cからつくられる立体であり,EKB上の立体である。ゆえに、A,B,Cからなる平行六面体はそれと等辺で等角であるB上の立体に等しい。

従って、もし、3直線が比例しているならば,そのとき、3直線からなる平行六面体は中項のうえの等辺でこの平行六面体と等角な平行六面体に等しい。

証明終了


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