命題34

 等しい平行6面体の底面は高さに反比例する。そして、これらの底面が高さに反比例する平行6面体は等しい。

 ABCDは等しい平行6面体とする。

 立体ABCDは等しい平行6面体とする。

 立体ABCDの底面の高さに反比例する、つまり、底面EHは底面NQに対するのと同様に立体ABCDの高さは立体ABの高さに対することをいう。

 まず、辺AG,EF,LB,HK,CM,NO,PD,QRをそれらの底面に垂直に立てる。底面EHNQに対するのと同様にCMAGに対することをいう。

 もし今,底面EHが底面NQに等しく、立体ABが立体CDに等しいならば、そのとき、CMAGに等しい。なぜならば、同じ高さの平行6面体は、もう1つに対するのと同様に底面も対応し、底面EHNQに対するのと同様にCMAGに対する。また、平行6面体ABCDの底面は高さに反比例することは明らかである。

 次に、底面EHは底面NQに等しくないとする。しかし、EHの方が大きいとする。

 今,立体ABが立体CDに等しいとするので、CMはまたAGより大きい。

 CTAGに等しくし、底面NQ、高さCTの平行6面体VCが完結したとする。

 今,立体ABは立体CDに等しく、CVは別のものであり、他方、等しいものは同じものに対し同じ比になるので、立体ABは立体CVに対するのと同様に立体CDは立体CVに対する。

 しかし、立体ABは立体CYに対するのと同様に底面EHは底面NQに対する。なぜなら、

立体ABCVは等しい高さであり、立体CDは立体CVに対するのと同様に底面MQは底面TQに対し、CMCTに対するからである。従って底面EHは底面NQに対するのと同様にMCCTに対する。

 ところが、CTAGに等しいので、底面EHは底面NQに対するのと同様にMCAGに対する。

 従って平行6面体ABCDの底面は高さに反比例する。

 再び,平行6面体ABCDの底面を高さに反比例させる。つまり、底面EHが底面NQに対する。そして、立体CDの高さは立体ABの高さに対する。

 立体ABは立体CDに等しいことをいう。

 底面に立てた辺が垂直とする。

 今もし,底面EHが底面NQと等しく、底絵MEHは底面NQに対するのと同様に立体CDの高さは立体ABの高さに対する。従って立体CDの高さは立体ABの高さに等しい。

 ところが、平行6面体は互いに底面が等しく同じ高さであるので、立体ABは立体CDに等しい。

 次に、底面EHは底面NQに等しくないとし、EHの方が大きいとする。

 よって立体CDの高さはまた、立体ABの高さより大きいすなわちCMAGより大きい

 CTAGに再び等しくし、立体CVは完結したとする。

 底面EHは底面NQに対するのと同様にMCAGに対する。また、AGCTに等しいので、底面EHは底面NQに対するのと同様にCMCTに対する。

 ところが底面EHは底面NQに対するのと同様にMCAGに対する。また、AGCTに等しいので、底面EHは底面NQに対するのと同様にCMCTに対する。

 ところが、底面EHは底面NQに対するのと同様に立体ABは立体CVに対する。なぜなら、立体ABCVは等しい高さで、CMCTに対するのと同様に底面MQは底面QTに対し、立体CDは立体CVに対する。

 従って立体ABは立体CVに対するのと同様に立体CDは立体CVに対する。よって立体ABCDは互いに、CVに同じ比をなす。従って、立体ABは立体CDに等しい。

 今、辺FE,BL,GA,HK,ON,DP,MC,RQをそれらの底面に垂直に立てないとする。点F,G,B,K,O,M,D,RからEHNQを通る平面に垂線をひき。それらの支点をS,T,U,V,W,X,Y,aとする。立体FVOaが完結したとする。

 この場合も、もし立体ABCDが等しいならば,そのとき底面は高さに反比例する。すなわち、底面EHは底面NQに対するのと同様に立体CDの高さは立体ABの高さに対する。

 立体ABは立体CDに等しく、ABBTに等しい。なぜなら、それらは、同じ底面FK上にあり、同じ高さだからである。また、立体CDDXと等しい。なぜならば、それらもまた同じ底面RO上にあり、同じ高さをもつからである。従って立体BTはまた、立体DXに等しい。

 従って底面FKは底面ORに対するのと同様に立体DXの高さは立体BTの高さに対する。ところが、底面FKは底面EHに等しく,底面ORは底面NQに等しい。従って底面EHは底面NQに対するのと同様に立体DXの高さは立体BTの高さに対する。

 ところが、立体DXBTと立体DCBAはそれぞれ同じ高さをもつので、底面EHは底面NQに対するのと同様に、立体DCの高さは立体ABの高さに対する。

 従って平行6面体ABCDの底面は高さに反比例する。

 次に平行6面体ABCDの底面を高さに反比例するとする。つまり、底面EHが底面NQに対する。そして、立体CDの高さは立体ABの高さに対する。

 立体ABは立体CDに等しいことをいう。

 同じ作図をされたとき、底面EHは底面NQに対するのと同様に立体CDの高さは立体ABの高さに対する。また、底面EHは底面FKに等しく、NQORに等しい。従って底面FKは底面ORに対するのと同様に立体CDの高さは立体ABの高さに対する。

 ところが、立体ABCDと立体BTDXはそれぞれ同じ高さをもつので、底面FKが底面ORに対するのと同様に立体DXの高さは立体BTの高さに等しい。

 従って平行6面体BTDXの底面は高さに反比例する。従って立体BTは立体DXに等しい。

 ところが、BTBAに等しい。なぜならば、それらは同じ底面FK上にあり、同じ高さである。また、立体DXは立体DCに等しい。従って立体ABはまた立体CDに等しい。

 従って、等しい平行6面体の底面は高さに反比例する。そして、これらの底面が高さに反比例する平行6面体は等しい。

証明終了


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