命題33

相似な平行六面体は互いに相対する辺の3乗比である。

ABとCDは相似な平行六面体としてAEをCFと相対する辺とする立体ABは立体CDに対し,AEがCFに対する比の3乗の比をなすことを言う。

EK,EL,EMがAE,GE,HEと一直線上に延長する。EKをCFと等しくし,ELをFNに等しくし,EMをFRに等しくする。平行四辺形KLと立体KPが完結したとする。

,2辺KEとELは2辺CFとFNに等しく,∠KELは∠CFNに等しい。なぜならば,ABとCDは相似な立体であるので,∠AEGはまた,∠CFNに等しい。従って,平行四辺形KLは平行四辺形CNに等しく相似である。同様に平行四辺形KMはCRに等しく,相似であり,EPはDFに等しく相似である。

従って,立体KPの3つの平行四辺形は立体CDの3つの平行四辺形に等しく,相似である。ところが,前の3つは,相対する3つに等しく,相似であり,後の3つも相対する3つに等しく,相似である。従って立体KPは立体CDに等しく相似である。

平行四辺形GKが完結したとし,閉庫四辺形GKとKL底面としABと同じ高さの立体EOとLQが完結したとする。そのとき,立体ABとCDは相似であるので,AEはCFに対するのと同様にEGはFNに対し,EHはFRに等しい。またCFはEKに等しく,FNはELに等しく,FNはELに等しく,FRはEMに等しい。従って,AEはEKに対するのと同様にGEはELにたいし,HEはEMに対する。ところが,AEはEKに対するのと同様にAGは平行四辺形GKに対するので,GEはELに対するのと同様にGKはKLに対する。また,HEはEMに対するのと同様にQEはKMに対する。従って,平行四辺形AGはGKに対するのと同様にGKはKLに対し,QEはKMに対する。

ところが,AGはGKに対すのと同様に立体ABは立体EOに対しGKはKLに対するのと同様に立体OEは立体QLに対し,QEはKMに対するのと同様に立体QLは立体KPに対する。従って,立体ABはEOに対するのと同様にEOはQLに対しQLはKPに対する。

しかし,もし4つの量が順に比例するならば,その時1つ目は4つ目に対し,2つ目に対する比の三乗の比を持つ。従って,立体ABはKPに対しABがEOに対する比の三乗の比でなければならない。

しかし,ABはEOに対するのと同様に平行四辺形AGはGKに対し,線分AEはEKに対する。このことから,立体ABはまたKPに対し,AEがEKに対する比の3乗の比をなす。

ところが,立体KPは立体CDに等しく線分EKはCFに等しい。従って,立体AQBはまた立体CDに対し,それに相対する辺の三乗の比になりAEはCFに相対する。

従って,相似な平行六面体は互いに相対するへんの3乗比である。

証明終了


第11巻命題32へ 第11巻命題34へ 第11巻目次へ