命題31

等しい底辺上にあり,同じ高さの平行六面体は互いに等しい。

同じ高さの平行六面体AECFは,底面AB,CD上にあるとする。立体AEは立体CFと等しいことを言う。

まず,辺HK,BE,AG,LM,PQ,DF,CO,RSを立て,底面ABCDに垂直にする。直線RTを直線CR上に延長する。∠TRUを線分RT上の点Rの∠ALBに等しくする。RTALを等しくし,RVLBを等しくする。底面RWと立体XUが完結されたとする。

,2TRRU2ALLBに等しくそれらは等しい角をもつので,平行四辺形RWは,平行四辺形HLに等しく,相似である。また,ALRTに等しく,LMRSに等しく,それらは直角を持つので,平行四辺形RXは平行四辺形AMに等しく,相似である。同様にしてLEもまたSUに等しく,相似である。

立体AE3つの平行四辺形は立体XU3つの平行四辺形に等しく,相似である。しかし,前の3つは相似する3つに等しく相似である。後ろの3つも相対する3つに等しく,相似であるから,平行六面体AEは平行六面体XUに等しい。

互いに,Yを通るDRWUをかき,DYにへいこうでTを通るaTBをかき,PDaに対して延長し,立体YXRIが完結したとする。そのとき,平行六面体RXが底面でYcが相対する立体XYは,平行四辺形RXが底面でUVと相対する立体XUf上にあり同じ高さで,それらの立っている辺RY,RU,ThTW,SeSd,Xc,XVは同じ直線YWとeV上にあるからである。しかし,立体XUはAEと等しいので立体XYはまた,立体AEに等しい。

そして,平行六面体RUWTは平行四辺形YTに等しい。なぜならば,それらは同じ底面RT上にあり,同じ平行線RTとTWのなかにあり,RUWTはCDに等しいからである。それはまた,ABと等しいので平行四辺形YTはまた,CDと等しい。

ところが,DTは他の平行四辺形であるので,底面CDはDTに対するのと同様にYTはDTに対する。そして,平行六面体CIは相対する平面に平行な平面RFによってきられるので,底面CDは底面DTに対する。同様にして,平行六面体YIは相対する平面に平行な平面Rによって切られるので,底面YTは,底面TDに対するのと同様に立体YXは立体RIに対する。・

ところが,底面CDはDTに対するのと同様にYTはDTに対する。よって,立体CFは立体RIに対するのと同様に立体YXは立体RIに対する。従って,立体CFとYXのお互いは,RIと同じ比をもつ。従って,立体CFは,立体YXに等しい。しかし,YXはAEに等しいことは証明されたので,AEはまたCFに等しい。

次に,辺AG,HK,BE,LM,CN,PQ,DF,RSは底面ABとCDに垂直でないとする。

立体AEは立体CFに等しいことを言う。

点K,,,,,,,Sから与えられた平面に垂直にKO,ET,GU,MV,QW,FX,NY,SIをひき,点O,,,,,,,Iで平面に交わるとする。そのとき,立体KVは立体QIに等しい。なぜならば,それらは等しい底面KM,QS上にあり,同じ高さをもち,それらの辺はそれらの底面に垂直に立っているからである。

しかし,立体KVは立体AEに等しく,QIはCFに等しい。なぜならば,同じ直線上にあり,同じ高さで,それらの上に立っている辺が同じ直線上にないからである。

従って,立体AEはまた,立体CFに等しい。

従って,等しい底面上にあり,同じ高さの平行六面体は互いに等しい。

証明終了


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