命題30

同じ底面上にあり,同じ高さの平行六面はそれらのたっている辺の端が同じ直線上になくても互いに等しい。

CMCNは同じ底面上で同じ大きさの平行六面体とし,それらの辺AF,AG,LM,LN,CD,CE,BH,BKの端は同じ直線上にないとする。

立体CMは立体CNに等しいとする。HKDHは点Rで互いに交わるとし,FMGEPQまで延長するAO,LP,CQ,BRを結ぶ。そのとき,平行四辺形ACBLが底面でFDHMと向かい合う立体CMは平行四辺形ACBLが底面でOQRPと向かい合う立体CPと等しい。なぜならば,それらは同じ底面ACBL上で同じ高さを持ち,それらの立っている辺AF,LM,LP,CD,CQ,BH,BRの端は同じ直線FPOR上にある。

しかし,平行四辺形ACBLが底面でOQRPと向かい合っている立体CPは平行四辺形ACBLが底辺で,GEKNと向かい合っている立体CNと等しい。なぜなら,それらは同じ底面ACBL上で,同じ高さで,それらの立っている辺AC,AO,CE,CQ,LN,LP,BK,BRの端は同じ直線上CQNR上にあるからである。

このことから,立体CMはまた,立体CNと等しい。

従って,同じ底面上にあり,同じ高さの平行六面体はそれらの立っている辺の端が同じ直線上になくても互いに等しい。

証明終了


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