命題29

同じ底辺上にあり同じ高さの平行六面体はそれらの立っている辺の端がおなじ直線上にあるとき,たがいに等しい。

CMCNは同じ底辺AB上で同じ高さの平行六面体とし,それらの立っている辺AG,LM,LN,CD,CE,BH,BKの端は同じ直線FN,DK上にあるとする。

立体CMは立体CNに等しいとする。図形CHCKのそれぞれは,平行四辺形であるから,CBは線分DHEKにそれぞれ等しい。従って,DHもまた,EKに等しい。

お互いから,EHを引く。従って残りのDEは残りのHKに等しい。よって,△DCEもまた,△HBKに等しく平行四辺形DGは平行四辺形HNに等しい。同様に△AFGは△MLNに等しい。ところが,平行四辺形CFは平行四辺形BMに等しくCGBNに等しい。なぜならば,それらは向かい合っているからである。従って,2つの三角形AFGDCEと3つの平行四辺形AD,DG,CDによって作られる角柱に等しい。

それぞれ平行四辺形ABが底面であり,GEHMと向かい合っている立体を加えている。よって,平行な立体CMは平行六面体CNと等しい。

よって,同じ底辺上にあり,同じ高さの平行六面体はそれらの立っている辺の端が同じ直線上にあるとき互いに等しい。

証明終了


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