命題27

与えられた直線上の与えられた平行六面体に相似であり,相似な位置にある平行六面体をかくこと。

ABを与えられた直線とし,CDを与えられた平行六面体とする。与えられた平行六面体に相似であり,相似な位置にある平行六面体を直線AB上にかく必要がある。・

直線AB上のてんにおける角,BAH,HAK,KABによってかこまれる立体角が立体角Cと等しいとする。すなはち,∠BAHが∠ECFに等しく,∠BAKが∠ECGに等しく,∠KAHが∠GCFに等しい。つまり,ECCGに対するのと同様にBAAKに対し,GCCFに対するのと同様にKAAHに対する。

従って,ECCFに対するのと同様にBAAHに対する。

平行四辺形HBと立体ALが完結されたとする。

,ECCGに対するのと同様にBAAKに対し等しい角,∠ECG,BAKについての辺は比例しているので,平行四辺形GEは,平行四辺形KBに相似である。同様に,平行四辺形KHは平行四辺形GFに相似であり,FEもまたHBに相似である。

従って,立体CDの3つの平行四辺形は立体ALの3つの平行四辺形に相似する。しかし,前者の3つは向かい合った三つの平行四辺形に等しく,相似であり,後者の3つは向かい合った3つの平行四辺形に等しく,相似である。従って,立体CDは,立体ALに相似である。

従って,直線AB上の与えられた平行六面体CDに相似であり,相似の位置のあるABがかかれた。

証明終了


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