命題26

立体角は与えられた直線上の与えららた点において与えられた立体角に等しくなる。

Aは,与えられた直線AB上の与えられた点とし,Dにおける角を∠EDC,EDF,FDCによってかこまれた与えらた角とする。

直線AB上の点Aにおける立体角は点Dのおける立体角に等しくなる必要がある。

DF上の任意の点FをとりFからEDDCを通る平面にFGをひき,それがGにおける平面と交わるとする。DGを結ぶ。直線AB上の点Aにおいて∠BALに等しく∠EDCがつくられ,∠BAKに等しく∠EDGがつくられる。AKDGに等しくする。点KからBAALを通る平面に垂直に上方へKHをひく。KHは,GFに等しくし,HAを結ぶ。∠BAL,BAH,HALによってかこまれる点Aにおける立体角は,∠EDC,EDF,FDCによってかこまれる点Dにおける立体角に等しいことを言う。

ABDEを互いに等しく切りHB,KB,FH,GEを結ぶ。そのとき,FGは与えられた平面に垂直であるので,それはまた,それを通り,与えられた平面上にあるすべての直線と垂直である。従って,FGD,FGEはそれぞれ直角である。同様にして∠HKAと∠HKBはそれぞれ直角である。

また,2KAAB2GDDEに等しく等しい角をもつので,底辺KBは底辺GEに等しい。ところが,KHもまたGFに等しく直角を持つので,HBもまたFEに等しい。また,それゆえに底辺AHは,底辺FDに等しい。ところが,ABもまた,DEに等しいので,2HAHB2DFDEに等しい。そして,底辺HBは底辺FEに等しい。従って,BAHは∠EDFに等しい。同様に∠HALもまた∠FDCに等しい。そして,∠BALもまた∠EDCに等しい。従って,直線AB上の点Aにおける立体角は点Dにおける立体角は等しい。

証明終了


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