命題25

もし平行六面体が向かい合った平面に平行な平面によって切られるならば,そのときその底辺が底辺に対するの同様に,立体は立体に対する。

平行六面体ABCDが向かい合った平面RADHに平面FGによって切られるとする。底辺AEFVは底辺EHCFに対するのと同様に立体ABFUは立体EGCDに対する。

両方向にAHを延長する。任意個の線分AKKLAEに等しく任意個のHMMNEHに等しくする。平行四辺形L,P,K,V,H,W,M,Sと立体LQ,KR,DM,MTが完結したとする。

そのとき線分LK,KA,AEは互いに等しいので平行四辺形LP,KV,AFは互いに等しくKO,KB,AGは互いに等しく,さらにLX,KQ,ARは互いに等しい。なぜならば,それらは相対しているからである。同様に平行四辺形EC,HW,MSは互いに等しく,HG,HI,INは等しく,さらにDH,MY,NTは互いに等しい。

よって立体のLQ,KR,AVの三面は三面に等しい。ところが,3つの面は向かい合った3つの面に等しい。よって,3つの立体LQ,KR,AVの三面は互いに等しい。同様に三つの立体ED,DM,MTもまた互いに等しい。したがって,底面LFが底面AFの何倍であろうと,立体LUも立体AVも同じ倍数である。同じ理由から底面NFが底面FHの何倍であろうと,立体NUも立体Uも同じ倍数である。

また,もし底面LFが底面NFに等しいならば,立体LUもまた立体NUに等しくもし底辺NFより大きいならば立体LUも立体NUより大きく,もし小さければ小さい。従って,4つの量,つまり2面体AFFH2つの立体AVUHがあり,底面AFと立体ACがどう数倍つまり底面LFと立体LUがとられ,底面LFが底面FNより大きいとき,立体LVもまた立体NUよりも大きく,もし底面が等しければ,その立体は等しい。また小さければ小さい。

よって,底面AFは底面FHに対するのと同様に立体AUは立体UHに対する。

従って,もし平行六面体が向かい合った平面に平行な平面によって切られるならば,そのときその底辺が底辺に対するのと同様に立体は立体に対する。

証明終了


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