命題24

 もし,立体が平行な平面でかこまれるならば,そのときそれに向かい合った平面は等しく平行四辺形である。

立体CDHDは平行な平面AC,GF,AH,DF,BF,AEで囲まれるとする。向かい合った平面は等しく平行四辺形であることを言う。

2つの平行な平面BGCEは平面ACによって切られるので,それらの交線は平行である。よってABDCに平行である。また,2つの平行な平面BFAEは平面ACによってきられるので,それらの交線は平行である,よって,BCACに平行である。ところが,ABDCに平行であることは証明されたので,ACは平行四辺形である。同様にして,平面DFFGGBBFAEはそれぞれ平行四辺形であることが証明できる。

AHDFを結ぶ。

そのとき,ABDCに閉庫であり,BHCFに平行であるので,互いに交わる2直線ABBHは,同一平面上にない互いに交わる2直線DCCFに平行である。従ってそれらは等しい角をつくる。従って,ABH,DCFに等しい。

また,2辺ABBHは,2辺DCCFに等しく∠ABHと∠DCFは等しいので底辺AHは底辺DFに等しく△ABHと△DCFは等しい。そして,平行四辺形BGは△ABHの2倍であり,平行四辺形CEは△DCFの2倍であるので,平行四辺形BGと平行四辺形CEは等しい。

同様に,ACGEが等しくAEBFが等しいことが証明できる。

従って,もし立体が平行な平面に囲まれるならば,そのときそれに向かい合った平面は等しく平行四辺形である。

証明終了


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