命題22

 どの2角の和も残りの1つよりい大きく、等しい線分によってつくられる3つの平面角があるならば、そのとき、それらの等しい線分を結ぶ線分から三角形をつくることができる。

 どの2角の和も残りの1つよりも大きい3つの平面角ABC,DEF,GHKをとる。すなわち、∠ABCと∠DEFの和は∠GHKよりも大きく、∠DEFと∠GHKの和は∠ABCよりも大きく、さらに、∠GHKと∠ABCの和は∠DEFよりも大きい。また、直線AB,BC,DE,EF,GH,HKをとる。AC,DF,GKを結ぶ。

 AC,DF,GKから等しい線分で三角形をつくれる。つまり、どの2線分AC,DF,GKの和も残りの1つよりも大きいことをいう。

 今,もし∠ABC,DEF、∠GHKがそれぞれ等しいならば,そのときAC,DF,GKもまた等しく、AC.DF.GKが等しい線分から三角形を作ることができることは明らかである。

 ところが、もしそうでないならば、それらを等しくとれない線分HK上の点Hに∠ABCに等しい∠KHLをつくる。直線AB,BC,DE,EF,GH,HKのどれか1つと等しいHLをつくる。KLGLを結ぶ。

 今、2ABBC2KHHLと等しく、∠Bは∠KHLに等しいので,底辺ACは底辺KLに等しい。

 また、∠ABCと∠GHKの和は∠DEFよりも大きく,ABCは∠KHLに等しいから∠GHLは∠DEFより大きい。

 そして、2GHHL2DEEFに等しく、∠GHLは∠DEFよりも大きいので、底辺GLは底辺DFよりも大きい。

 ところが、GKKLの和はGLよりも大きいので、GKKLの和はDFよりも大きい。しかし、KLACに等しいので、ACGKの和は残りの線分DFよりも大きい。よって、ACDFの和はGKよりも大きく、さらに、DFGKの和はACよりも大きいことが証明できる。

 従って、AC,DF,GKから等しい線分によって三角形をつくることができる。

 従って、どの2角の和も残りの1つより大きく、等しい線分によってつくられる3つの平面角があるならば、そのとき、それらの等しい線分を結ぶ線分から三角形をつくることができる。

証明終了


第11巻命題21へ 第11巻命題23へ 第11巻目次へ