命題21

任意の立体角は4直角より小さい平面角によってつくられる。

 Aにおける角を平面角BAC,CAD,DABによってつくられる立体角とする。

 角BAC,CAD,DABの和は4直角より小さいことをいう。

 点B,C,Dを直線AB,AC,AD上にそれぞれとり、BC,CD,DBを結ぶ。

 今,Bにおける立体角は平面角CBAABD,CBDによってつくられ、どの2つの和も残りの1つより大きいので、∠CBA、∠ABDの和は∠CBDよりも大きい。

 同様に∠BCAと∠ACDの和は∠BCDよりも大きく、∠CDAと∠ADBの和は∠CDBよりも大きい。従って、6つの角CBA,ABD,BCA,ACD,CDA,ADBの和は3つの角CBDBCDCDBの和よりも大きい。

 また、△ABC,ACD,ADB3つの角の和はそれぞれ2直角に等しいので、3つの三角形の9角CBA,ACB,BAC,ACD,CDA,CAD,ADB,DBA,BADの和は6直角に等しい。その中の6つの角ABC,BCA,ACD,CDA,

ADB,DBAの和は2直角よりも大きいので、残りの3つの角BAC,CAD,DABでつくられる立体角の和は4直角よりも小さい。

 従って、任意の立体角は4直角より小さい平面角によって作られる。

証明終了


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