命題20

 もし、ある立体角が3つの平面角によってなされるならば,そのとき任意の2つの和は残りの1つよりも大きい。

 点Aの立体角は3つの平面角BAC,CAD,DABによってなされる。

 ∠BAC、∠CAD、∠DABの任意の2角の和は残りの1つよりも大きいことをいう。

 もし、∠BAC、∠CAD、∠DABが互いに等しいならば、任意の2つの和は残りの1つよりも大きいことは明らかである。

 しかし,そうでないとすると,BACが大きいとすると、BAACを通る平面上において直線AB上の点Aにおける∠BAEは∠DABに等しくつくられる。AEADに等しくすると、点Eを通って引かれたBECは直線ABACB,Cできり、DBDCを結ぶとする。

 今,DAAEと等しく、ABは共通であるので、2辺は2辺に等しい。そして、∠DABは∠BAEに等しい。よって底辺DBは底辺BEに等しい。

 また、2BDDCの和はBCよりも大きく,これらのDBBEに等しいことが証明できたので,残りのDCは残りのECより大きい。

 今,DAAEに等しく、ACは共通であり,底辺DCとは底辺ECより大きいので、∠DACは∠EACより大きい。

 ところが、∠BAEは∠DABに等しい。よって、∠DABと∠DACの和は∠BACより大きい。

 同様にして、残りの角の任意の2つの和は残りの1つよりも大きいことが証明できる。

 従って、もし、ある立体角が3つの平面角によってなされるならば、そのとき、任意の2つの和は残りの1つよりも大きい。

証明終了


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