命題19

 もし、互いに切られる2平面が任意の平面に垂直ならば,そのときそれらの交線もまた同じ平面に垂直である。

 2平面ABBCが与えられた平面に垂直であるとし,BCはそれらの共通部分であるとする。

 BDは与えられた平面に垂直であるとする。

 そうでないとすると,Dから平面AB上の直線ADに垂直なDEがひかれ、平面BC上のCDに垂直なDFがひける。

 今,平面ABは与えられた平面に垂直であり、DEは平面AB上の交線ADに垂直であるので、DEは与えられた平面に垂直である。

 同様にして,DFもまた与えられた平面に垂直であることが証明できる。よって、同じ点Dからひける2直線は与えられた平面の同じ側に垂直に立てられた。これは不可能である。

 従って、平面ABBCDBを除いて、点Dから与えられた平面に垂直を作ることができる直線はない。

 従って、もし、互いに切られる2平面が任意の平面に垂直ならば、そのとき、それらの交線もまた、同じ平面に垂直である。

証明終了


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