命題18

 もし、ある直線が任意の平面に垂直ならば,そのときそれを通るすべての平面もまた同じ平面に垂直である。

 任意の直線ABは与えらた平面に垂直であるとする。

 ABを通るすべての平面もまた,与えられた平面に垂直であることをいう。

 平面DFABを通るようにつくられ、CEは平面DEと与えられた平面の交線とする。

 CE上に任意の点Fをとり,平面DE上のCEに垂直なFGFからひく。

 今、ABは与えられた平面に垂直なので、ABはまた、それを通り,与えられた平面上にある。すべての直線に垂直である。そうすると、それはまた、CEに垂直である。よって∠ABFは直角である。

 しかし、∠GFBもまた直角であるので、ABFGに平行である。

 ところが、ABは与えられた平面い垂直であるので、FGもまた与えられた平面に垂直である。

 今,それらの平面の交線に垂直に引かれた線分が残りの平面に垂直であるとき、それらの2平面は互いに垂直である。そして、CEに垂直な平面DEの1つであるFGは与えられた平面に垂直であることは証明された。従って平面DEは与えられた平面に垂直である。

 ゆえに、それはまた、ABを通るすべての平面は与えられた平面に垂直であることが証明できる。

 従って、もし、ある直線が任意の平面に垂直ならば,そのとき、それらを通るすべての平面もまた同じ平面に垂直である。

証明終了


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