命題17

もし、2つの直線が平行な平面によって切られるならば,そのときそれらは同じ比に切られる。

 2直線ABCDは平行な平面GH,KL,MNとそれぞれ点A,E,B,C,F,Dで切られたとする。

 直線AEEBに対するのと同様にCFFDに対することをいう。

 AC,BD,ADを結ぶ。ADは平面KLと点Oで交わるとする。EOFOを結ぶ。

 今,2つの平行な平面KLMNは平面EBDOで切られるので,それらの交線EO,BDは平行である。同様に2つの平行な平面GH,KLは平面AOFCで切られるので,それらの交線AC,OFは平行である。

 そして、直線EOBCに平行であるので△ABD1部より比例し,AEEBに対するようにAOODに対する。また、直線FOCAに平行であるので△ADC1部より比例し,AOODに対するようにCFFDに対する。

 しかし、AOODに対するのと同様にAEEBに対することは証明されたのでAEEBに対するのと同様にCFFDに対する。

 従って、2直線が平行な平面によって切られるならば,そのときそれらは同じ比に切られる。

証明終了


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