命題16

 もし2つの平行な平面が任意の平面に切られるならば、そのときそれらの交線は平行である。

 2つの平行な平面ABCDが平面EFGHで切られるとし、EFGHがそれぞれの交線とする。EFGHに平行であることをいう。もしそうでないならば、EF,GHは延長されF,Hの方向またはE,Gの方向で交わるだろう。まず、F,Hの方向に延長されたときKと交わるとする。

 今,EFKは平面AB上にあるので、EFK上のすべての点もまた平面AB上にある。しかし、Kは直線EFK上の点の1つであるので、Kは平面AB上にある。同じ理由から,Kはまた平面CD上にある。従って延長されたとき平面ABCDは交わるだろう。しかし、それらは交わらない。なぜならば、仮定より,それらは平行だからである。従って直線EFGHF,Hの方向に延長されたとき交わらない。同様に直線EFGHE,Gの方向に延長されたとき、交わらないことが証明できる。しかし、いずれの方向でも交わらない直線は平行である。従ってEFGHに平行である。

 従って、もし2つの平行な平面が任意の平面に切られるならば、そのときそれらの交線は平行である。

証明終了


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