命題15

 もし、互いに交わる2直線が同一平面にない互いに交わる2直線に平行ならば,そのときそれらを通る平面は平行である。

 互いに交わる2直線ABBCは同一平面にない互いに交わる2直線DEEFに平行であるとする。ABBCを通る平面を延長したものとDEEFを通る平面を延長したものは互いに交わらないことをいう。点BからDE,EFを通る平面に垂線をひき、点Gで平面と交わるBGをひく。Gを通りEDに平行なGHをひき、GKEFと平行とする。

 今,BGDEEFを通る平面に垂直であるので、BGはそれと交わり,DEEFを通る平面上にあるすべての直線に直角をなす。しかし、直線GHGKは互いにそれに交わり,DEEFを通る平面上にあるので、∠BGHと∠BGKは互いに垂直である。そして、BAGHに平行であるので∠GBAと∠BGHの和は2直角に等しい。しかし、∠BGHは垂直であるので、∠GBAもまた垂直である。よってGBBAに垂直である。同じ理由からGBもまたBCに垂直である。そのとき、直線GBは互いに切る2直線BABCに垂直であるので、GBもまたBABCを通る平面にも垂直である。しかし、同じ直線が垂直である2平面は平行であるので、ABBCを通る平面はDEEFを通る平面に平行である。

 従って、互いに交わる2直線が同一平面にない互いに交わる2直線に平行ならば,そのときそれらを通る平面は平行である。

証明終了


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