命題14

同じ直線に直角な2平面は平行である。

 任意の直線ABは平面CD,EFと互いに直角であるとする。

 2平面は平行であることをいう。 なぜならば、もしそうでないならばそのときそれらは延長されたとき交わる。交わるとする。そのときそれらは1つの直線と同じように交わる。それをGHとする。GH上に任意に点Kをとり、AKBKをひく。

 今、ABは平面EFに直角であるのでABもまた平面EF上の直線BKと直角である。よって∠ABKは直角。同じ理由から∠BAKもまた直角である。よって△ABK上の∠ABKと∠BAKの和は2直角に等しい。これは不可能である。よって2平面CDEFは延長されたとき交わらない。従ってCDEFは平行である。

 従って同じ直線に直角な2平面は平行である。

証明終了


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