命題13

 同じ点からひいた2つの直線は同じ側の同じ平面に垂直をなすことができない。

 なぜなら、もし可能であるならば、同じ点Aから与えられた平面に垂直に2直線AB,ACが同じ側にひける。

BAACを通る平面をかく。Aを通る直線上に与えられた平面は交わる。直線DAEをひく。

 よって直線AB,AC,DAE1つの平面上にあり、CAは与えられた平面に垂直であるので、CAはそれと交わり、与えられた平面上にあるすべての直線と垂直をなす。

 しかし、DAEはそれと交わり、与えられた平面上にある。よって∠CAEは直角である。同じ理由から∠BAEもまた直角である。従って∠CAEは∠BAEと等しい。

 そしてそれらは同一平面上にあり、これは不可能である。

 従って、同じ点からひいた2つの直線は同じ側の同じ平面に垂直をなすことができない。

命題終了


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