命題11

 面外の与えられた点から、与えられた平面に垂直な直線をひくこと。

 面外の与えられた点をAとし、与えられた平面を基準平面とする。

 点Aから基準平面に垂直な線を引く必要がある。

 基準平面上に任意に線分BCをひき、点AからBCへ垂線ADをひく。そのとき、もしADもまた基準平面にも垂直であるならば、これは可能である。

 しかし、そうでないならば、DからBCに垂直なDEが基準平面にひけ、AからDEに垂線AFがひけ、点FからBCに平行なGHがひける。

 今、BCが直線DADEのお互いと垂直なので、BCはまたED,DAを通る平面にも垂直である。

 そしてGHはそれに平行である。ところが、もし2直線が平行であるならば、その1つは任意の平面と垂直である。そのとき残りの1つはまた、それと同じ平面と垂直である。従ってGHもまたEDDEを通る平面に垂直である。

 よってGHもまたそれと交わりEDDAを通る平面上のあるすべての直線と垂直である。しかし、AFはそれと交わり、EDDAを通る平面上にあるので、GHFAに垂直である。それゆえ、FAもまたGHに垂直である。しかし、AFもまたDEに垂直であるので、AFは直線GHDEにそれぞれ垂直である。

 しかし、もし1つの直線がそれらの交点で互いに切られた2つの直線に垂直ならば、そのときそれはまた、それらを通る平面にも垂直である。従って、FAEDGHを通る平面に垂直である。

 しかし、EDGHを通る平面は基準平面であるので、AFは基準平面に垂直である。

 従って、面外の与えられた点Aから基準平面に線分AFがひけた。

証明終了


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