命題10

 もし互いに交わる2直線が同一平面上にない互いに交わる2直線に平行ならば、そのときそれらは同じ角をなす。

 互いに交わる2直線ABBCが同一平面上にない互いに交わる2直線DEEFに平行であるとする。

 ∠ABCは∠DEFに等しいことをいう。

 BA,BC,ED,EFを互いに等しく切り、AD,CF,BE,AC,DFを結ぶ。

 今、BAEDに等しく平行であるのでADもまたBEに等しく平行である。同じ理由からCFもまたBEに等しく平行である。

 よって直線ADCFそれぞれは、BEに等しく平行である。しかし、同一平面に平行でそれと同じ平面にない直線は互いに平行であるのでADCFに平行で等しい。

 そして、ACDFはそれらを結ぶので、ACもまたDFに等しく、平行である。

 今、2ABBCDEEFに等しく、底辺ACDFに等しいので、∠ABCは∠DEFに等しい。

 従って、もし互いに交わる2直線が同一平面上にない互いに交わる2直線に平行ならば、そのときそれらは同じ角をなす。

証明終了


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