2-13 大学入試問題を解く

演習問題を行う前に 1-2. Mathematica を使 うときの注意を良く読んでください.


内容

  1. 問1

  2. 問3

  3. 演習問題


ここでは、実際の大学入試問題(数学)を Mathematica を用いて解いていきます。解いていくのは2012年度の岡山大学の入試問題(理系・数学)の第1問と第3問です。

問1



まず、グラフを描いていきましょう。

入力

出力

上の図で囲まれた部分の面積を求めれば良いので、まず y = 2 と y = | x - 1/x | の交点を求めます。

入力

出力


上のままでは、正負がよくわからないので数値的近似値を求めます。

入力

出力


交点は -1+Sqrt[2] と 1+Sqrt[2] であることがわかりました。つまり、2- | x - 1/x | を -1+Sqrt[2] から 1+Sqrt[2] まで積分すれば良いことになります。

入力

出力


求める面積は 2 です。



問3

まず、関数 d(p1,p2) を定義します。p1[[1]] でベクトル p1 の第1成分を、p1[[2]] で第2成分を表します。

入力

出力


次に A, B を定義します。

入力

出力

入力

出力

点 (a, b) が T 上にあるための条件を計算します。

入力

出力

点 (a, -b) が T 上にあるための条件を計算します。

入力

出力

2つの条件が同値であることが示されました。これで (1) が解答されたことになります。

次に(2)を考えます。上の条件を満たす図形Tを、ContourPlot を用いて表示します。

入力

出力

この領域の内側の面積を求めれば良いことになります。内側の領域は上の条件の等式を >= に置き換えたものです。

入力

出力

この領域の面積は、次のようにして計算出来ます。

入力

出力

どうしてこれで上の領域の面積が計算できるかを説明します。

Integrate[ f(x ,y),  {x, x1, x2},  {y, y1, y2} ] は、f(x, y) を領域 x1 < x < x2,  y1 < y < y2 で重積分する命令です。

Boole[ f(x, y) ] は f(x, y) が真であるときは 1 を、そうでない時は 0 を返す関数です。

つまり、上の計算では、求める領域の所だけが高さが1であるような3次元の物体を考え、その体積(それは求める領域の面積と一致する)を計算しているので す。

最後に(3)を解きます。

この問題は点D= (x, y) がT上にある条件の元で、点 C=(13,8) と点Dとの距離 d(C, D) を最小化する問題です。

よって次のように解くことができます。

入 力

出力

入力

出力

入力

出力

求める値は 18 です。


演習問題

Mathematica を用いて、下の各問に解答せよ。

(1)九州大学 2012年度 文系数学 第2問

(2)九州大学 2012年度 文系数学 第4問

(3)九州大学 2012年度 理系数学 第1問

(4)広島大学 2012年度 文系数学 第1問

(5)広島大学 2012年度 文系数学 第3問

(6)広島大学 2012年度 理系数学 第1問

(7)広島大学 2012年度 理系数学 第3問

(8)広島大学 2012年度 理系数学 第5問

(9)大阪大学 2012年度 文系数学 第1問

(10)大阪大学 2012年度 文系数学 第3問

(11)大阪大学 2012年度 理系数学 第2問